Центральная предельная теорема

Допустим некоторый признак распределен нормально в ГС, и имеет среднее значение равное 0 и стандартное отклонение равное 15. Давайте будем многократно извлекать выборки из нашей ГС по 35 наблюдений в каждый и внутри из каждой выборок рассчитывать среднее значение и стандартное отклонение.

Мы видим что распределение признака изменяется от выборки к выборки. При этом значение средних также варьируется. Где-то положительное отклонение от реального показателя, где-то отрицательное, где-то более точные оценки.

Однако что произойдет если мы рассчитаем среднее значение внутри из каждой из выборок и построим распределение выборочных средних значений. Мы получим следующую картину: Если внутри каждой из выборок оценка реального показателя может быть не столь точной, то в среднем выборочные средние значения предоставят довольно неплохой показатель. И среднее всех средних будет очень близко к реальному среднему в ГС.

Мы видим что большинство всех наших выборочных средних лежат рядом с нулем и какие-то отклоняются в положительную сторону, какие-то в отрицательную. Стандартное отклонение этого распределения называется - стандартной ошибкой среднего. И показывает насколько в среднем выборочные значения средних отклоняются от среднего ГС. И если увеличить размер для каждой выборки, то стандартная ошибка среднего уменьшится.

Важно отметить, что исходное распределение может быть не нормальным (пусть например, пуассоновским), но при этом распределение средних будет нормальным.

Если увеличить размер выборки, то сильные отклонения выборочных средних от истинного среднего будут возникать

• Это не повлияет на характер распределения выборочных средних

• Реже, распределение выборочных средних станет более узким

• Чаще, распределение выборочных средних станет более широким

Предположим исследуемый нами признак имеет нормальное распределение в ГС с некоторым средним значением и стандартным отклонением и мы многократно извлекаем выборки равного N по объему, и в каждой выборки рассчитываем среднее значение, после чего строим распределение этих выборочных средних. Такое распределение будет являться нормальным со средним совпадающим с этим показателем ГС. Стандартная ошибка среднего:

$$se = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$\sigma - стандартное\: отклонение\: ГС\\ n - число\: наблюдений\: одной\: выборки$

Чем больше наблюдений в нашей выборке, тем ближе все выборочные средние к реальному среднему ГС. Поэтому изменчивость всех выборочных средних будет тем меньше, чем больше элементов нашей ГС. Чем меньше изменчивость исследуемого признака ГС, тем реже будут возникать выборочных средних от среднего ГС. Поэтому чем больше число наблюдений, чем меньше изменчивость исследуемого признака, тем будет меньше стандартная ошибка среднего.

Если выполняются следующие условия: число наблюдений выборки больше 30, причем это выборка представляет собой репрезентативную выборку, то эта формула позволяет сделать следующую замену.

$$se = \frac{sd}{\sqrt{n}}$$

ЦПТ - При многократном повторении эксперимента выборочные средние симметричным образом распределятся вокруг среднего значения генеральной совокупности, а стандартное отклонение такого распределения выборочных средних – стандартная ошибка среднего:

$$se = \frac{se}{\sqrt{n}} = \frac{sd}{\sqrt{n}} \: при \:n>30$$

Как соотносятся стандартная ошибка среднего и выборочное стандартное отклонение исследуемого признака?

• Стандартная ошибка всегда больше, чем стандартное отклонение

• Стандартная ошибка всегда равняется стандартному отклонению

• Стандартная ошибка всегда меньше, чем стандартное отклонение

Укажите верные утверждения

• Стандартная ошибка среднего тем меньше, чем меньше объем выборки и больше вариативность исследуемого признака

• Мы можем использовать выборочное значение стандартного отклонения для расчета стандартной ошибки среднего, только если объем нашей выборки меньше 30 наблюдений

• Стандартная ошибка среднего тем меньше, чем больше объем выборки и меньше вариативность исследуемого признака

• Распределение выборочных средних является нормальным, со средним равным среднему значению признака в генеральной совокупности

• Стандартная ошибка среднего - это среднеквадратическое отклонение распределения выборочных средних

• Чем меньше стандартная ошибка среднего, тем реже выборочные средние будут сильно отклоняться от среднего в генеральной совокупности

• Стандартная ошибка среднего - это разность выборочного среднего и среднего в генеральной совокупности