Меры изменчивости

• Понятие меры изменчивости данных

• Размах

• Дисперсия, стандартное отклонение

• Свойства дисперсии и стандартного отклонения

Два распределения отличаются по изменчивости

Одна из самых простых мер изменчивости - это размах (range).

Размах (range) - разность максимального и минимального значения.

$$R = X_{max} - X_{min}$$

Размах

Размах имеет недостаток - оно рассчитывает изменчивость данных, используя только два крайних значений. И изменения одного из крайних значений, будут очень болезненно отражаться на итоговом результате.

Как использовать все без исключения значения признака для расчёта меры изменчивости? Один из вариантов - это посмотреть насколько в среднем наши значения отклоняются от среднего нашей выборки.

Дисперсия (variance) – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия для ГС:

$$D = \frac{\sum((X_i - \overline{X})^2)}{n}$$

Дисперсия для Выборки

$$D = \frac{\sum((X_i - \overline{X})^2)}{n - 1}$$

Среднее квадратическое отклонение - в отличии от дисперсии, показывает реальное среднее значение наших отклонений от среднего по выборке.

$$\sigma = \sqrt{D}$$

Обозначения для ГС и Выборки:

$$\sigma = sd$$

sd ( standard deviation) - средне квадратическое отклонение или стандартное отклонение.

Дисперсия

Свойства дисперсии:

$$D_{x + c} = D_x \\ sd_{x+c} = sd_x \\ D_{x*c} = D_x * c^2 \\ sd_{x*c} = sd_x * |c|$$

Свойства дисперсии

Может ли показатель стандартного отклонения принимать отрицательные значения?

• Может, если все значений выборки отрицательные.

• Может, если все значения в выборке равны друг другу.

• Не может, стандартное отклонение всегда неотрицательное.

• Не может, стандартное отклонение всегда равно нулю.

т.к. сумма квадратов

У какого из распределений наибольшая дисперсия?

• 2

• 3

• 1

т.к. отклонения от среднего на 2 гистограмме больше